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風の行方とハードボイルドワンダーランド

再雇用の機会を捨て自由な時と空間を・・・ 人は何のために生まれてきたのだろうか? これから本当の旅がはじまる・・・

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マンデルブロ集合 : 1兆×1兆倍の彼方

マンデルブロ集合について初めて記事を記したのが6年前の2016年。この間の汎用パソコンの性能も飛躍的に拡大したおかげで、先日改めてマンデルブロ集合について検索すると多数のレベルの高いページがアップされていた。その中の一つがタイトルにした「マンデルブロ集合 : 1兆×1兆倍の彼方」というYou Tubeの動画。マンデルブロ集合のごく一部分を1兆×1兆倍まで拡大していく動画である。

普通の人にとって、1兆倍といわれても「ああそうですか」というぐらいの感想しか述べられず、具体的なイメージを持つことは難しいだろう。1兆というのは10の12乗。地球から月までの距離が38万キロ、約40万キロとしてメートルに直すと4X10の8乗メートルになる。ミリにすると4X10の11乗。まだちょっと1兆には足りない。1兆という倍率は地球から月の埃を観測するようなイメージとなる。1兆×1兆倍の彼方となると地球と月の距離の1兆倍先から月の埃を観察することと同じ。

マンデルブロ集合は複素平面上ではこんな位置に存在する。
mandelbrot_axis.png

上述のYou Tubeには計算条件に関する情報も記されていた。
・中心の座標
C(実部) = -1.26222162762384535370226702572022420406
C(虚部) = -0.04591700163513884695098681782544085357512
・縦方向の半径 = 1.2 → 6.104749541821244e-26
・脱出半径 = 2
・反復の上限 = 30,000

ポイントは有効数字の桁数。実部で小数点以下38桁並んでいる。最小段階での実際の計算は兆X兆以上に細かい点ごとに計算されたようだ。一つの点に対する収束計算の上限は3万回。この動画を作成するためには膨大な時間を要したと思われる。一昔前のスーパーコンピューター並。

その動画から、小さな可視領域から奥へ奥へと落ち込んでいくプロセスに表れる画像を作ってみた。

まずタイムゼロ。言い換えればマンデルブロ集合の原図。この赤い四角で囲った領域が探索の対象エリアである。
step0a.png

赤い四角の拡大図がこちら(左)。四角の色に意味はなく、見やすくするため周囲と違う色にしただけ。
step5a.png

この画像の青の四角の拡大図が左下。右の図は似ているが、左の図の緑の領域を拡大したものである。
step9a.png step13a.png

以下、同じ要領で左下、右、と続く。
step18a.png step22a.png

以下、同じ要領で左下、右。この尺度のこのエリアでは雰囲気が変わった。色の具体的な説明はないが収束の速さで、多分青系は収束が遅いのかと思われる。
step24a.png step28a.png

右上の画像の僻地のようなエリアから赤い丸い構造に映ったのが右下。
step34a.png step38a.png

更に深く進むとまた雰囲気が変わる。とはいえ基本的な部品の形態は同じ。
step44a.png step48a.png

更に奥へ奥へ。
step53a.png step57a.png

右上の赤のゴミみたいな領域も拡大すれば複素平面はこんな美しい構造を持っている。
step61a.png

更に深部へスピードアップ。
step76a.png step81a.png

そしてついに発見、原図と同じ形が現れた。大きさは1兆X1兆分の1。敬意を表してオリジナルの動画を見たい方は→こちら、1分半ほどである。
step87.png

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